En la segunda columna de esta tabla se muestra una media móvil de orden 5 que proporciona una estimación del ciclo de tendencias. El primer valor en esta columna es el promedio de las cinco primeras observaciones (1989-1993), el segundo valor en la columna 5-MA es el promedio de los valores 1990-1994 y así sucesivamente. Cada valor en la columna 5-MA es el promedio de las observaciones en el período de cinco años centrado en el año correspondiente. No hay valores para los dos primeros años o los últimos dos años porque no tenemos dos observaciones a cada lado. En la fórmula anterior, la columna 5-MA contiene los valores de hat con k2. Para ver cómo se ve la estimación de tendencia-ciclo, lo trazamos junto con los datos originales en la Figura 6.7. Parcela 40 elecsales, principal quotResidential ventas de electricidad, ylab quotGWhquot. Observe cómo la tendencia (en rojo) es más suave que los datos originales y captura el movimiento principal de la serie temporal sin todas las fluctuaciones menores. El método del promedio móvil no permite estimaciones de T donde t está cerca de los extremos de la serie, por lo tanto la línea roja no se extiende a los bordes de la gráfica en cualquier lado. Posteriormente utilizaremos métodos más sofisticados de estimación de tendencia-ciclo que permiten estimaciones cerca de los puntos finales. El orden de la media móvil determina la suavidad de la estimación de tendencia-ciclo. En general, una orden más grande significa una curva más lisa. El siguiente gráfico muestra el efecto de cambiar el orden de la media móvil para los datos de ventas de electricidad residencial. Esto es así que son simétricos: en una media móvil de orden m2k1, hay k observaciones anteriores, k observaciones posteriores y la observación media Que se promedian. Pero si m era igual, ya no sería simétrico. Promedios móviles de promedios móviles Es posible aplicar una media móvil a una media móvil. Una de las razones para hacer esto es hacer una media móvil de orden uniforme simétrica. Por ejemplo, podríamos tomar una media móvil de orden 4, y luego aplicar otra media móvil de orden 2 a los resultados. En la Tabla 6.2, esto se ha hecho para los primeros años de los datos trimestrales australianos sobre la producción de cerveza. Beer2 lt - window 40 ausbeer, inicio 1992 41 ma4 ltm 40 beer2, order 4. center FALSO 41 ma2x4 ltm 40 cerveza2, orden 4. center TRUE 41 La notación 2times4-MA en la última columna significa un 4-MA Seguido por un 2-MA. Los valores de la última columna se obtienen tomando una media móvil de orden 2 de los valores de la columna anterior. Por ejemplo, los dos primeros valores en la columna 4-MA son 451,2 (443410420532) / 4 y 448,8 (410420532433) / 4. El primer valor en la columna 2times4-MA es el promedio de estos dos: 450.0 (451.2448.8) / 2. Cuando un 2-MA sigue una media móvil de orden par (como 4), se llama una media móvil centrada de orden 4. Esto es porque los resultados son ahora simétricos. Para ver que este es el caso, podemos escribir el 2times4-MA de la siguiente manera: begin hat amp frac Bigfrac (y y y y) frac (y y y y) Big frac fray frac14y frac14y frac14y frac18y. Final Es ahora un promedio ponderado de observaciones, pero es simétrico. También son posibles otras combinaciones de promedios móviles. Por ejemplo, a menudo se utiliza una MA 3 x 3 y consiste en una media móvil de orden 3 seguida por otra media móvil de orden 3. En general, un orden par MA debe ir seguido de un orden par MA para hacerlo simétrico. Similarmente, un orden impar MA debe ser seguido por un orden impar MA. Estimación del ciclo de tendencias con datos estacionales El uso más común de promedios móviles centrados consiste en estimar el ciclo de tendencias a partir de datos estacionales. Considere el caso 2 x 4-MA: fractura de sombrero frac14y frac14y frac14y frac18y. Cuando se aplica a los datos trimestrales, cada trimestre del año se le da el mismo peso como el primer y último términos se aplican al mismo trimestre en años consecutivos. En consecuencia, se promediará la variación estacional y los valores resultantes del sombrero t tendrán poca o ninguna variación estacional restante. Se obtendría un efecto similar usando una 2-8 MA o una 2-12 MA. En general, una m-MA de 2 veces es equivalente a una media móvil ponderada de orden m1 con todas las observaciones tomando peso 1 / m excepto para el primer y último términos que toman pesos 1 / (2m). Por lo tanto, si el período estacional es uniforme y de orden m, utilice una m-MA de 2 veces para estimar el ciclo de tendencia. Si el período estacional es impar y de orden m, use un m-MA para estimar el ciclo de tendencias. En particular, se puede usar un 2-12-MA para estimar el ciclo de tendencias de los datos mensuales y un 7-MA se puede utilizar para estimar el ciclo de tendencias de los datos diarios. Otras opciones para el orden de la MA por lo general resultarán en estimaciones de tendencia-ciclo que están contaminadas por la estacionalidad en los datos. Ejemplo 6.2 Fabricación de equipos eléctricos La Figura 6.9 muestra una aplicación de 2 x 12 mA aplicada al índice de pedidos de equipos eléctricos. Obsérvese que la línea lisa no muestra estacionalidad, es casi la misma que la tendencia-ciclo que se muestra en la Figura 6.2 que se estimó utilizando un método mucho más sofisticado que los promedios móviles. Cualquier otra opción para el orden de la media móvil (excepto 24, 36, etc.) habría resultado en una línea suave que muestra algunas fluctuaciones estacionales. Plot 40 elecequip, ylab quotNuevo índice de órdenes. Col quotgrayquot, main Quot 41, 40 ma 40 elecequip, order 12 41. col quotredquot 41 Promedios móviles ponderados Las combinaciones de promedios móviles resultan en promedios móviles ponderados. Por ejemplo, el 2x4-MA discutido anteriormente es equivalente a un 5-MA ponderado con pesos dados por frac, frac, frac, frac, frac. En general, una m-MA ponderada se puede escribir como hat t sum k aj y, donde k (m-1) / 2 y los pesos están dados por a, dots, ak. Es importante que los pesos se suman a uno y que sean simétricos de modo que aj a. El m-MA simple es un caso especial donde todos los pesos son iguales a 1 / m. Una ventaja importante de las medias móviles ponderadas es que producen una estimación más suave del ciclo de tendencias. En lugar de las observaciones que entran y salen del cálculo a peso completo, sus pesos aumentan lentamente y luego disminuyen lentamente, dando como resultado una curva más lisa. Algunos conjuntos específicos de pesos son ampliamente utilizados. Algunos de ellos se dan en la Tabla 6. 3. Promedios de movimiento Promedios de movimiento Con conjuntos de datos convencionales, el valor medio es a menudo el primero, y uno de los más útiles, las estadísticas de resumen para calcular. Cuando los datos están en forma de series temporales, la media de la serie es una medida útil, pero no refleja la naturaleza dinámica de los datos. Los valores medios calculados en periodos de cortocircuito, ya sea antes del período actual o centrados en el período actual, suelen ser más útiles. Debido a que tales valores medios variarán o se moverán, a medida que el periodo actual se desplaza desde el tiempo t2, t3, etc., se conocen como medias móviles (Mas). Un promedio móvil simple es (típicamente) el promedio no ponderado de k valores previos. Una media móvil exponencialmente ponderada es esencialmente la misma que una media móvil simple, pero con contribuciones a la media ponderada por su proximidad al tiempo actual. Debido a que no hay una, sino toda una serie de promedios móviles para cualquier serie dada, el conjunto de Mas puede ser trazado en gráficos, analizado como una serie, y utilizado en el modelado y la predicción. Una gama de modelos puede ser construida usando medias móviles, y éstos se conocen como modelos del MA. Si estos modelos se combinan con modelos autorregresivos (AR), los modelos compuestos resultantes se conocen como modelos ARMA o ARIMA (el I es para integrado). Promedios móviles simples Puesto que una serie temporal puede considerarse como un conjunto de valores, t 1,2,3,4, n se puede calcular el promedio de estos valores. Si asumimos que n es bastante grande, y seleccionamos un entero k que es mucho menor que n. Podemos calcular un conjunto de promedios de bloques, o medias móviles simples (de orden k): Cada medida representa el promedio de los valores de datos sobre un intervalo de k observaciones. Obsérvese que la primera MA posible de orden k gt0 es que para t k. De forma más general, podemos eliminar el subíndice extra en las expresiones anteriores y escribir: Esto indica que la media estimada en el tiempo t es el promedio simple del valor observado en el tiempo t y los pasos de tiempo anteriores k -1. Si se aplican pesos que disminuyen la contribución de las observaciones que están más lejos en el tiempo, se dice que el promedio móvil se alisa exponencialmente. Los promedios móviles se usan a menudo como una forma de pronóstico, por lo que el valor estimado para una serie en el tiempo t 1, S t1. Se toma como la MA para el período hasta e incluyendo el tiempo t. p. ej. La estimación de hoy se basa en un promedio de valores anteriores registrados hasta e incluyendo ayer (para datos diarios). Los promedios móviles simples pueden ser vistos como una forma de suavizado. En el ejemplo ilustrado a continuación, el conjunto de datos sobre contaminación atmosférica que se muestra en la introducción a este tema se ha aumentado con una línea de 7 días de media móvil (MA), que se muestra aquí en rojo. Como se puede ver, la línea de MA suaviza los picos y valles en los datos y puede ser muy útil para identificar las tendencias. La fórmula estándar de cálculo de forward significa que los primeros k -1 puntos de datos no tienen ningún valor MA, pero a partir de entonces los cálculos se extienden hasta el punto final de datos de la serie. Una razón para calcular promedios móviles simples de la manera descrita es que permite calcular los valores para todos los intervalos de tiempo desde el tiempo tk hasta el presente, y A medida que se obtiene una nueva medición para el tiempo t1, se puede añadir el MA del tiempo t1 al conjunto ya calculado. Esto proporciona un procedimiento sencillo para conjuntos de datos dinámicos. Sin embargo, hay algunos problemas con este enfoque. Es razonable argumentar que el valor medio en los últimos 3 períodos, digamos, debería estar situado en el tiempo t -1, no en el tiempo t. Y para una MA sobre un número par de períodos tal vez debería estar situado en el punto medio entre dos intervalos de tiempo. Una solución a este problema es usar cálculos de MA centrados, en los que la MA en el tiempo t es la media de un conjunto simétrico de valores alrededor de t. A pesar de sus obvios méritos, este enfoque no se utiliza generalmente porque requiere que los datos estén disponibles para eventos futuros, lo que puede no ser el caso. En casos donde el análisis es enteramente de una serie existente, el uso de Mas centrado puede ser preferible. Los promedios móviles simples pueden considerarse como una forma de suavizado, eliminando algunos componentes de alta frecuencia de una serie temporal y destacando (pero no eliminando) las tendencias de manera similar a la noción general de filtrado digital. De hecho, las medias móviles son una forma de filtro lineal. Es posible aplicar un cálculo del promedio móvil a una serie que ya ha sido suavizada, es decir, suavizar o filtrar una serie ya suavizada. Por ejemplo, con un promedio móvil de orden 2, podemos considerar que se calcula usando pesos, por lo que la MA en x 2 0,5 x 1 0,5 x 2. Igualmente, la MA en x 3 0,5 x 2 0,5 x 3. Si Aplicar un segundo nivel de suavizado o filtrado, tenemos 0,5 x 2 0,5 x 3 0,5 (0,5 x 1 0,5 x 2) 0,5 (0,5 x 2 0,5 x 3) 0,25 x 1 0,5 x 2 0,25 x 3 es decir, el filtro de 2 etapas Proceso (o convolución) ha producido una media móvil simétrica ponderada variablemente, con pesos. Las convoluciones múltiples pueden producir promedios móviles ponderados bastante complejos, algunos de los cuales se han encontrado de uso particular en campos especializados, como en los cálculos del seguro de vida. Medias móviles se pueden utilizar para eliminar los efectos periódicos si se calcula con la longitud de la periodicidad como un conocido. Por ejemplo, con datos mensuales, las variaciones estacionales pueden ser eliminadas (si este es el objetivo) aplicando una media móvil simétrica de 12 meses con todos los meses ponderados igualmente, excepto el primero y el último que se ponderan en 1/2. Esto es porque habrá 13 meses en el modelo simétrico (tiempo actual, t. / - 6 meses). El total se divide por 12. Se pueden adoptar procedimientos similares para cualquier periodicidad bien definida. Promedios móviles ponderados exponencialmente (EWMA) Con la fórmula del promedio móvil simple: todas las observaciones son igualmente ponderadas. Si llamamos a estos pesos iguales, alfa t. Cada uno de los k pesos sería igual a 1 / k. Por lo que la suma de los pesos sería 1, y la fórmula sería: Ya hemos visto que las aplicaciones múltiples de este proceso resultan en los pesos que varían. Con las medias móviles exponencialmente ponderadas, se reduce la contribución al valor medio de las observaciones que se eliminan más en el tiempo, haciendo hincapié en los acontecimientos más recientes (locales). Esencialmente se introduce un parámetro de suavizado, 0lt alfa lt1, y la fórmula se revisa a: Una versión simétrica de esta fórmula sería de la forma: Si los pesos en el modelo simétrico son seleccionados como los términos de los términos de la expansión binomial, (1/21/2) 2q. Se sumarán a 1, y cuando q se haga grande, se aproximará a la distribución Normal. Esta es una forma de peso del núcleo, con el binomio actuando como la función del núcleo. La convolución de dos etapas descrita en la subsección anterior es precisamente esta disposición, con q1, dando los pesos. En el suavizado exponencial es necesario utilizar un conjunto de pesos que suman a 1 y que se reducen en tamaño geométricamente. Los pesos utilizados son típicamente de la forma: Para mostrar que estos pesos suman a 1, considere la expansión de 1 / como una serie. Podemos escribir y expandir la expresión entre paréntesis usando la fórmula binomial (1-x) p. Donde x (1-) y p -1, lo que da: Esto proporciona entonces una forma de media móvil ponderada de la forma: Esta suma puede escribirse como una relación de recurrencia: lo que simplifica enormemente el cálculo y evita el problema de que el régimen de ponderación Debe ser estrictamente infinito para que los pesos sumen a 1 (para valores pequeños de alfa, esto no suele ser el caso). La notación utilizada por diferentes autores varía. Algunos usan la letra S para indicar que la fórmula es esencialmente una variable suavizada y escriben: mientras que la literatura de la teoría de control usualmente usa Z en lugar de S para los valores exponencialmente ponderados o suavizados (véase, por ejemplo, Lucas y Saccucci, 1990, LUC1 , Y el sitio web del NIST para más detalles y ejemplos trabajados). Las fórmulas citadas anteriormente derivan del trabajo de Roberts (1959, ROB1), pero Hunter (1986, HUN1) utiliza una expresión de la forma: que puede ser más apropiada para su uso en algunos procedimientos de control. Con alfa 1, la estimación media es simplemente su valor medido (o el valor del elemento de datos anterior). Con 0.5 la estimación es el promedio móvil simple de las mediciones actuales y anteriores. En los modelos de predicción el valor, S t. Se utiliza a menudo como estimación o valor de pronóstico para el siguiente período de tiempo, es decir, como la estimación de x en el tiempo t 1. Así, tenemos: Esto muestra que el valor pronosticado en el tiempo t 1 es una combinación de la media móvil ponderada exponencial anterior Más un componente que representa el error de predicción ponderado, epsilon. En el tiempo t. Suponiendo que se da una serie de tiempo y se requiere una predicción, se requiere un valor para alfa. Esto puede estimarse a partir de los datos existentes mediante la evaluación de la suma de los errores de predicción al cuadrado obtenidos con valores variables de alfa para cada t 2,3. Estableciendo la primera estimación como el primer valor de datos observado, x 1. En aplicaciones de control, el valor de alfa es importante porque se usa en la determinación de los límites de control superior e inferior y afecta a la longitud de ejecución media (ARL) esperada Antes de que estos límites de control se rompen (bajo el supuesto de que las series temporales representan un conjunto de variables independientes aleatorias, distribuidas de forma idéntica con varianza común). En estas circunstancias, la varianza de la estadística de control es (Lucas y Saccucci, 1990): Los límites de control se establecen usualmente como múltiplos fijos de esta varianza asintótica, p. / - 3 veces la desviación estándar. Si alfa 0.25, por ejemplo, y se supone que los datos que se están supervisando tienen una distribución Normal, N (0,1), cuando están en control, los límites de control serán / - 1.134 y el proceso alcanzará uno u otro límite en 500 Pasos en promedio. Lucas y Saccucci (1990 LUC1) derivan los ARLs para una amplia gama de valores alfa y bajo diversas suposiciones usando procedimientos de cadena de Markov. Ellos tabulan los resultados, incluyendo el suministro de ARLs cuando la media del proceso de control ha sido desplazada por un múltiplo de la desviación estándar. Por ejemplo, con un cambio de 0.5 con alfa 0.25 el ARL es menos de 50 pasos de tiempo. Los enfoques descritos anteriormente se conocen como suavizado exponencial simple. Ya que los procedimientos se aplican una vez a la serie temporal y luego los procesos de análisis o control se llevan a cabo en el conjunto de datos suavizado resultante. Si el conjunto de datos incluye una tendencia y / o componentes estacionales, se puede aplicar el suavizado exponencial de dos o tres etapas como un medio para eliminar (modelar explícitamente) estos efectos (véase más adelante la sección sobre Pronóstico y el ejemplo trabajado del NIST ). CHA1 Chatfield C (1975) El Análisis de la Serie de Tiempos: Teoría y Práctica. Chapman y Hall, Londres HUN1 Hunter J S (1986) La media móvil exponencialmente ponderada. J of Quality Technology, 18, 203-210 LUC1 Lucas J M, Saccucci M S (1990) Esquemas de control del promedio móvil ponderado exponencialmente: Propiedades y mejoras. Technometrics, 32 (1), 1-12 ROB1 Roberts S W (1959) Pruebas de gráficos de control basadas en medias móviles geométricas. Technometrics, 1, 239-250 Análisis de la serie temporal: El proceso de ajuste estacional ¿Cuáles son las dos filosofías principales del ajuste estacional ¿Qué es un filtro ¿Cuál es el problema del punto final ¿Cómo decidimos qué filtro utilizar? ¿Qué es una función de ganancia? ¿Cuáles son los promedios móviles de Henderson? ¿Cómo tratamos el problema del punto final? ¿Qué son los promedios móviles estacionales? ¿Por qué se revisan las estimaciones de tendencia? ¿Cuántos datos se requieren para obtener estimaciones aceptables ajustadas estacionalmente? AVANZADO ¿Qué comparan las dos filosofías de ajuste estacional? PRINCIPALES FILOSOFÍAS DEL AJUSTE ESTACIONAL Las dos filosofías principales para el ajuste estacional son el método basado en modelos y el método basado en filtros. Métodos basados en filtros Este método aplica un conjunto de filtros fijos (medias móviles) para descomponer la serie de tiempo en una tendencia, componente estacional e irregular. La noción subyacente es que los datos económicos se componen de una serie de ciclos, incluidos los ciclos económicos (la tendencia), los ciclos estacionales (estacionalidad) y el ruido (componente irregular). Un filtro esencialmente elimina o reduce la resistencia de ciertos ciclos de los datos de entrada. Para producir una serie ajustada estacionalmente de los datos recolectados mensualmente, los eventos que ocurren cada 12, 6, 4, 3, 2.4 y 2 meses necesitan ser removidos. Corresponden a frecuencias estacionales de 1, 2, 3, 4, 5 y 6 ciclos por año. Los ciclos no estacionales más largos se consideran parte de la tendencia y los ciclos no estacionales más cortos forman el irregular. Sin embargo, el límite entre la tendencia y ciclos irregulares puede variar con la longitud del filtro utilizado para obtener la tendencia. En el ajuste estacional del ABS, los ciclos que contribuyen significativamente a la tendencia son típicamente más grandes que cerca de 8 meses para las series mensuales y 4 cuartos para las series trimestrales. La tendencia, los componentes estacionales e irregulares no necesitan modelos individuales explícitos. El componente irregular se define como lo que queda después de la tendencia y los componentes estacionales han sido eliminados por los filtros. Los irregulares no muestran características de ruido blanco. Los métodos basados en filtros se conocen a menudo como métodos de estilo X11. Estos incluyen X11 (desarrollado por la Oficina del Censo de los EE. UU.), X11ARIMA (desarrollado por Estadísticas Canadá), X12ARIMA (desarrollado por la Oficina del Censo de los EE. UU.), STL, SABL y SEASABS (el paquete utilizado por el ABS). Las diferencias computacionales entre varios métodos en la familia X11 son principalmente el resultado de diferentes técnicas utilizadas en los extremos de la serie temporal. Por ejemplo, algunos métodos utilizan filtros asimétricos en los extremos, mientras que otros métodos extrapolan la serie temporal y aplican filtros simétricos a la serie extendida. Métodos basados en modelos Este enfoque requiere que la tendencia, los componentes estacionales e irregulares de las series temporales se modelen por separado. Asume que el componente irregular es el ruido blanco 8221 - es decir todas las longitudes de ciclo están representadas igualmente. Los irregulares tienen una media cero y una varianza constante. El componente estacional tiene su propio elemento de ruido. Dos paquetes de software ampliamente utilizados que aplican métodos basados en modelos son STAMP y SEATS / TRAMO (desarrollados por el Banco de España) Las principales diferencias computacionales entre los distintos métodos basados en modelos suelen ser debido a las especificaciones del modelo. Para comparar las dos filosofías a un nivel más avanzado, vea ¿Cómo se comparan las dos filosofías de ajuste estacional? ¿QUÉ ES UN FILTRO? Los filtros pueden ser usados Para descomponer una serie de tiempo en un componente de tendencia, estacional e irregular. Las medias móviles son un tipo de filtro que sucesivamente promedio de un tiempo de cambio de los datos con el fin de producir una estimación suavizada de una serie de tiempo. Esta serie suavizada se puede considerar que tienen Se ha derivado de la ejecución de una serie de entrada a través de un proceso que filtra ciertos ciclos. En consecuencia, un promedio móvil se refiere a menudo como un filtro. El proceso básico implica definir un conjunto de pesos de longitud m 1 m 2 1 como: Nota: un conjunto simétrico de pesos tiene m 1 m 2 y wjw - j Un valor filtrado en el tiempo t puede ser calculado por donde Y t describe el valor De la serie temporal en el tiempo t. Por ejemplo, considere las siguientes series: Usando un filtro simétrico simple de 3 términos (es decir m 1 m 2 1 y todos los pesos son 1/3), el primer término de la serie suavizada se obtiene aplicando los pesos a los tres primeros términos de La serie original: El segundo valor suavizado se produce aplicando los pesos al segundo, tercero y cuarto términos de la serie original: ¿CUÁL ES EL PROBLEMA DEL PUNTO FINAL Reconsiderar la serie: Esta serie contiene 8 términos. Sin embargo, la serie suavizada obtenida mediante la aplicación de filtro simétrico a los datos originales contiene sólo 6 términos: Esto se debe a que no hay suficientes datos en los extremos de la serie para aplicar un filtro simétrico. El primer término de la serie suavizada es un promedio ponderado de tres términos, centrado en el segundo término de la serie original. No se puede obtener un promedio ponderado centrado en el primer término de la serie original como datos antes de que este punto no esté disponible. Del mismo modo, no es posible calcular un promedio ponderado centrado en el último término de la serie, ya que no hay datos después de este punto. Por esta razón, los filtros simétricos no pueden utilizarse en ningún extremo de una serie. Esto se conoce como el problema del punto final. Los analistas de series temporales pueden usar filtros asimétricos para producir estimaciones suavizadas en estas regiones. En este caso, el valor suavizado se calcula 8216 fuera del centro8217, con el promedio que se determina usando más datos de un lado del punto que el otro según lo que está disponible. Alternativamente, se pueden usar técnicas de modelado para extrapolar las series temporales y luego aplicar filtros simétricos a la serie extendida. CÓMO DECIDIMOS A QUÉ FILTRO USAR El analista de series temporales elige un filtro apropiado basado en sus propiedades, tales como los ciclos que el filtro quita cuando se aplica. Las propiedades de un filtro pueden ser investigadas usando una función de ganancia. Las funciones de ganancia se usan para examinar el efecto de un filtro en una frecuencia dada sobre la amplitud de un ciclo para una serie temporal determinada. Para obtener más detalles sobre las matemáticas asociadas con las funciones de ganancia, puede descargar las Notas del curso de la serie temporal, una guía introductoria al análisis de series de tiempo publicada por la Sección de análisis de series temporales del ABS (consulte la sección 4.4). El siguiente diagrama es la función de ganancia para el filtro de 3 terminales simétrico que estudiamos anteriormente. Figura 1: Función de ganancia para el filtro simétrico de 3 períodos El eje horizontal representa la longitud de un ciclo de entrada en relación con el período entre puntos de observación en la serie temporal original. Así que un ciclo de entrada de longitud 2 se completa en 2 períodos, que representa 2 meses para una serie mensual, y 2 cuartos para una serie trimestral. El eje vertical muestra la amplitud del ciclo de salida en relación con un ciclo de entrada. Este filtro reduce la intensidad de los ciclos de 3 periodos a cero. Es decir, elimina completamente ciclos de aproximadamente esta longitud. Esto significa que para una serie de tiempo en la que los datos se recogen mensualmente, se eliminarán todos los efectos estacionales que se produzcan trimestralmente aplicando este filtro a la serie original. Un cambio de fase es el cambio de tiempo entre el ciclo filtrado y el ciclo sin filtrar. Un cambio de fase positivo significa que el ciclo filtrado se desplaza hacia atrás y un desplazamiento de fase negativo se desplaza hacia delante en el tiempo. El cambio de fase ocurre cuando el momento de los puntos de giro está distorsionado, por ejemplo cuando el promedio móvil se coloca descentrado por los filtros asimétricos. Es decir, se producirán antes o después en la serie filtrada, que en el original. Las medias móviles simétricas de longitud impar (como las usadas por el ABS), donde el resultado está colocado centralmente, no causan desplazamiento de fase de tiempo. Es importante que los filtros utilizados deriven la tendencia a retener la fase de tiempo, y por lo tanto el tiempo de cualquier punto de inflexión. Las Figuras 2 y 3 muestran los efectos de la aplicación de una media móvil simétrica 2x12 que está descentrada. Las curvas continuas representan los ciclos iniciales y las curvas rotas representan los ciclos de salida después de aplicar el filtro de media móvil. Figura 2: Ciclo de 24 meses, Fase -5,5 meses Amplitud 63 Figura 3: Ciclo de 8 meses, Fase -1,5 meses Amplitud 22 ¿QUÉ SON LAS TASAS DE MOVIMIENTO DE HENDERSON Las medias móviles de Henderson son filtros que fueron obtenidos por Robert Henderson en 1916 para su uso en aplicaciones actuariales. Son filtros de tendencia, comúnmente utilizados en el análisis de series de tiempo para suavizar las estimaciones ajustadas estacionalmente para generar una estimación de tendencia. Se utilizan de preferencia a las medias móviles más simples, ya que pueden reproducir polinomios de hasta el grado 3, capturando así los puntos de inflexión de la tendencia. El ABS utiliza los promedios móviles de Henderson para producir estimaciones de tendencia de una serie ajustada estacionalmente. Las estimaciones de tendencia publicadas por el ABS se derivan típicamente utilizando un filtro de Henderson de 13 términos para series mensuales y un filtro de Henderson de siete términos para series trimestrales. Los filtros de Henderson pueden ser simétricos o asimétricos. Las medias móviles simétricas pueden aplicarse en puntos que estén lo suficientemente alejados de los extremos de una serie temporal. En este caso, el valor suavizado para un punto dado en la serie temporal se calcula a partir de un número igual de valores a cada lado del punto de datos. Para obtener los pesos, se alcanza un compromiso entre las dos características generalmente esperadas de una serie de tendencias. Estos son que la tendencia debe ser capaz de representar una amplia gama de curvaturas y que también debe ser lo más suave posible. Para la derivación matemática de los pesos, refiérase a la sección 5.3 de las notas del curso de la serie cronológica. Que se puede descargar gratuitamente desde el sitio web de ABS. Los patrones de ponderación para una gama de promedios móviles de Henderson simétricos se muestran en la siguiente tabla: Patrón de ponderación simétrica para Henderson Moving Average En general, cuanto más largo sea el filtro de tendencia, más suave será la tendencia resultante, como resulta evidente de una comparación de las funciones de ganancia encima. Un Henderson de 5 términos reduce ciclos de aproximadamente 2,4 períodos o menos en al menos 80, mientras que un término de 23 Henderson reduce los ciclos de aproximadamente 8 períodos o menos en al menos 90. De hecho, un filtro de Henderson de 23 términos elimina completamente los ciclos de menos de 4 períodos . Los promedios móviles de Henderson también atenúan los ciclos estacionales en diversos grados. Sin embargo, las funciones de ganancia en las Figuras 4-8 muestran que los ciclos anuales en series mensuales y trimestrales no se amortiguan significativamente para justificar la aplicación directa de un filtro de Henderson a las estimaciones originales. Esta es la razón por la que sólo se aplican a una serie ajustada estacionalmente, donde ya se han eliminado los efectos relacionados con el calendario con filtros diseñados específicamente. La Figura 9 muestra los efectos de suavizado de la aplicación de un filtro Henderson a una serie: Figura 9: Filtro de Henderson de 23 términos - Valor de las aprobaciones de edificios no residenciales ¿CÓMO SE TRATA DEL PROBLEMA DE PUNTO FINAL El filtro Henderson simétrico sólo puede aplicarse a regiones De datos suficientemente alejados de los extremos de la serie. Por ejemplo, el término estándar Henderson solo puede aplicarse a datos mensuales que sean al menos 6 observaciones desde el inicio o el final de los datos. Esto se debe a que la suavidad del filtro de la serie tomando un promedio ponderado de los 6 términos a cada lado del punto de datos, así como el punto en sí. Si intentamos aplicarlo a un punto que es menos de 6 observaciones desde el final de los datos, entonces no hay suficientes datos disponibles en un lado del punto para calcular el promedio. Para proporcionar estimaciones de tendencia de estos puntos de datos, se utiliza una media móvil modificada o asimétrica. El cálculo de filtros Henderson asimétricos puede generarse mediante una serie de métodos diferentes que producen resultados similares pero no idénticos. Los cuatro métodos principales son el método de Musgrave, el método de minimización del cuadrado medio, el método Best Lineal Unbiased Estimates (AZUL) y el método de Kenny y Durbin. Shiskin et. Al (1967) derivaron los pesos asimétricos originales para la media móvil de Henderson que se usan dentro de los paquetes X11. Para obtener información sobre la derivación de los pesos asimétricos, consulte la sección 5.3 de las notas de los cursos de la serie temporal. Consideremos una serie de tiempo en la que el último punto de datos observado ocurre en el tiempo N. Entonces, un filtro de Henderson de 13 términos simétricos no puede aplicarse a puntos de datos que se miden en cualquier momento después e incluyendo el tiempo N-5. Para todos estos puntos, se debe utilizar un conjunto asimétrico de pesos. La siguiente tabla muestra el patrón de ponderación asimétrica para un promedio móvil de Henderson estándar de 13 términos. Los filtros de Henderson de 13 términos asimétricos no eliminan ni amortiguan los mismos ciclos que el filtro de Henderson de 13 términos simétricos. De hecho, el patrón de ponderación asimétrica utilizado para estimar la tendencia en la última observación amplifica la fuerza de los ciclos de 12 periodos. También los filtros asimétricos producen algún cambio de fase de tiempo. ¿QUÉ SON LOS MOMENTOS MOVILES ESTACIONALES Casi todos los datos investigados por el ABS tienen características estacionales. Dado que los promedios móviles de Henderson utilizados para estimar la serie de tendencias no eliminan la estacionalidad, los datos deben ajustarse estacionalmente primero usando filtros estacionales. Un filtro estacional tiene pesos que se aplican al mismo período en el tiempo. Un ejemplo del patrón de ponderación para un filtro estacional sería: (1/3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/3) donde, por ejemplo, se aplica un peso de un tercio a tres enero consecutivos. Dentro de X11, una serie de filtros estacionales están disponibles para elegir. Se trata de un promedio móvil ponderado de 3 términos (ma) S 3x1. Ponderado a 5-plazo ma S 3x3. Ponderado 7-plazo ma S 3x5. Y un término ponderado de 11 meses S 3x9. La estructura de ponderación de los promedios móviles ponderados de la forma, S nxm. Es que se calcula un promedio simple de m términos, y entonces se determina una media móvil de n de estos promedios. Esto significa que los términos nm-1 se usan para calcular cada valor suavizado final. Por ejemplo, para calcular un término de 11 S 3x9. Un peso de 1/9 se aplica al mismo período en 9 años consecutivos. A continuación, se aplica un promedio móvil de 3 términos simple a través de los valores promediados: Esto da un patrón de ponderación final de (1/27, 2/27, 1/9, 1/9, 1/9, 1/9, 1/9, 1/9, 1/9, 2/27, 1/27). La función de ganancia para un filtro estacional de 11 términos, S 3x9. La aplicación de un filtro estacional a los datos generará una estimación del componente estacional de la serie temporal, ya que preserva la fuerza de los armónicos estacionales y amortigua los ciclos de no - Longitudes estacionales. Los filtros estacionales asimétricos se utilizan en los extremos de la serie. Los pesos asimétricos para cada uno de los filtros estacionales utilizados en X11 se pueden encontrar en la sección 5.4 de las notas de los cursos de la serie temporal. ¿POR QUÉ SE REVISAN LAS ESTIMACIONES DE LAS TENDENCIAS? En el extremo actual de una serie temporal, no es posible utilizar filtros simétricos para estimar la tendencia debido al problema del punto final. En su lugar, se utilizan filtros asimétricos para producir estimaciones de tendencias provisionales. Sin embargo, a medida que se dispone de más datos, es posible volver a calcular la tendencia utilizando filtros simétricos y mejorar las estimaciones iniciales. Esto se conoce como una revisión de tendencias. CUÁNTOS DATOS SE REQUIEREN PARA OBTENER ESTIMACIONES ACEPTADAS AJUSTADAS ESTACIONALMENTE Si una serie temporal presenta una estacionalidad relativamente estable y no está dominada por el componente irregular, entonces los datos de 5 años pueden considerarse una longitud aceptable para obtener estimaciones desestacionalizadas de. Para una serie que muestra estacionalidad particularmente fuerte y estable, se puede hacer un ajuste bruto con 3 años de datos. Por lo general, es preferible tener al menos 7 años de datos para una serie cronológica normal, para identificar con precisión los patrones estacionales, los efectos del día de la transacción y los efectos de las vacaciones en movimiento, los saltos de tendencia y estacionales, así como los valores atípicos. COMPARACIÓN DE LAS DOS FILOSOFIAS DE AJUSTE ESTACIONAL Los enfoques basados en modelos permiten las propiedades estocásticas (aleatoriedad) de la serie bajo análisis, en el sentido de que adaptan los pesos de los filtros según la naturaleza de la serie. La capacidad de model8217s para describir con precisión el comportamiento de la serie puede ser evaluada, y las inferencias estadísticas para las estimaciones están disponibles sobre la base de la suposición de que el componente irregular es el ruido blanco. Filter based methods are less dependent on the stochastic properties of the time series. It is the time series analyst8217s responsibility to select the most appropriate filter from a limited collection for a particular series. It is not possible to perform rigorous checks on the adequacy of the implied model and exact measures of precision and statistical inference are not available. Therefore, a confidence interval cannot be built around the estimate. The following diagrams compare the presence of each of the model components at the seasonal frequencies for the two seasonal adjustment philosophies. The x axis is the period length of the cycle and the y axis represents the strength of the cycles which comprise each component: Figure 11: Comparison of the two seasonal adjustment philosophies Filter based methods assume that the each component exists only a certain cycle lengths. The longer cycles form the trend, the seasonal component is present at seasonal frequencies and the irregular component is defined as cycles of any other length. Under a model based philosophy, the trend, seasonal and irregular component are present at all cycle lengths. The irregular component is of constant strength, the seasonal component peaks at seasonal frequencies and the trend component is strongest in the longer cycles. This page first published 14 November 2005, last updated 25 July 2008
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